Геометричні моделі комбінаторних тотожностей

Abstract

Метод траєкторій започатковано у роботі D. Andre. У роботах Б.В. Гнєденка та його учнів згаданий метод було застосовано до задач математичної статистики.

Метод траєкторій в комбінаториці та теорії ймовірностей полягає у зведенні задач до підрахунку шляхів на цілочисельних ґратках. Для доведення комбінаторних тотожностей методом траєкторій обчислюють найкоротші шляхи на ґратках двома способами, і прирівнюючи результати обчислень, отримують ту чи іншу тотожність.

У цій статті пропонується просторова версія методу траєкторій і застосовується для доведення комбінаторних тотожностей.

Розглянуто як узагальнення відомих комбінаторних тотожностей так і доведення нових. Комбінаторні тотожності до водяться із використанням просторової системи координат. Завдяки своїй наочності, метод траєкторій також може бути використаний у навчанні комбінаторних розділів математики. Візуалізація навчального матеріалу є дуже важливою складовою методики викладання. Збільшення розмірності, звичайно, зменшує наочність матеріалу, але часто позитивно впливає на розвиток здатності до логічного аналізу задачі. Подальші дослідження у цьому напрямку можуть бути спрямовані на побудову траєкторій у просторі більшої розмірності та їх візуалізацію, а також на побудову геометричних інтерпретацій відомих комбінаторних тотожностей. The method of trajectories appeared in the work of D. Andre, where the reflection method was applied to the Bertrand’s ballot problem. In the works of B.V. Gnedenko and his colleagues, the method of trajectories was applied to problems of mathematical statistics. The method of trajectories in combinatorics and probability theory is to reduce problems to counting paths on integer lattices. The proof of combinatorial identities by the method of trajectories consists in calculating the shortest lattice paths in two ways.

In this paper, we propose a spatial version of the trajectory method and apply it to the proof of combinatorial identities. Generalizations of known combinatorial identities and proofs of new ones are considered. Several combinatorial identities are proved using a spatial coordinate system.

On the other hand, due to its visualization, the trajectory method can also be used in teaching combinatorial math. Visualization of educational material is a very important component of the teaching methodology. Increasing the dimensionality reduces the visibility of the material, but positively affects the ability to logically analyze problems. Further research could be aimed at building trajectories in a more dimensional space and visualizing them.